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 Il paradosso dei gemelli nella relatività

 

 

La relatività è profondamente poco intuitiva per l’uomo. Il nostro cervello sembra cablato per visualizzare la geometria al massimo in 3 dimensioni euclidee. Questo probabilmente perché ci siamo evoluti in un ambiente in cui gli oggetti si muovono a velocità non relativistiche.  Allo stesso modo da quando ci siamo evoluti in un ambiente in cui le azioni erano molto più grandi della costante di Planck, il nostro cervello non pensa in modo naturale in termini di meccanica quantistica. E poiché l’Universo è davvero quantico e relativistico, quei limiti sono dove le cose si divertono.

Ma questa disconnessione tra la fisica di come sono realmente le cose e il modo in cui possiamo modellare mentalmente l’Universo può causare apparenti paradossi. Forse il paradosso più famoso di questo tipo è il paradosso dei gemelli della relatività speciale. Se sei interessato alla fisica, probabilmente hai sentito parlare di questo paradosso e probabilmente conosci la soluzione. Ma recentemente stavo pensando a questo paradosso della Relatività Generale, che si è rivelato avere delle conseguenze divertenti. Quindi ho pensato di spiegare prima il paradosso relativistico speciale (e la sua soluzione), e poi come funziona nella relatività generale.

Allora, cos’è il paradosso dei gemelli? È un apparente paradosso logico che deriva dall’applicazione di alcune delle conseguenze della Relatività Speciale, ma non risolve completamente il problema. Una volta risolto completamente il problema, vedi che non c’è – ovviamente – nessun paradosso logico. Il che è positivo, perché l’Universo e le leggi della fisica non dovrebbero infrangere la logica, poiché ciò equivale a rompere la matematica, e in questo stabilimento non tolleriamo questo tipo di assurdità.

Il paradosso dei gemelli deriva dal prendere le seguenti affermazioni vere che derivano dalla Relatività Speciale.

  1. Tutti gli osservatori che si muovono a velocità costante sono giustificati nel considerarsi fermi e il resto dell’Universo in movimento. Cioè, qualsiasi esperimento locale che eseguono non può dipendere dal loro movimento costante rispetto a qualche frame di riferimento privilegiato esterno. Questi osservatori a velocità costante vivono in un quadro di riferimento inerziale.  Questo è in realtà un principio molto antico, chiamato relatività galileiana. Dovremmo esserne molto familiari: è l’affermazione che se sei su un aereo senza turbolenza, non puoi dire che ti stai muovendo se non guardi fuori dalla finestra (guardare fuori dalla finestra è un esperimento non locale).
  2. Affinché tutti gli osservatori misurino la stessa velocità della luce (un fatto sperimentale e tutta la Relatività Speciale deriva proprio dal fatto che la Relatività della Galilea si adatta per affrontare questo fatto sperimentale), un osservatore inerziale misurerà gli orologi che si muovono rispetto a loro come tic  più lento del proprio orologio. Questo non è un trucco, o un’illusione ottica, e gli “orologi” includono la velocità con cui si verificano i processi fisici fondamentali che guidano la cognizione e il metabolismo umani, quindi se qualcuno si muove rispetto a te, sembra che si muovano e invecchino più lentamente di te.

Questo si chiama dilatazione del tempo. L’effetto è piccolo (ma misurabile) per velocità relative molto meno della luce, ma può crescere fino a differenze relative significative (avvicinandosi alla dilatazione del tempo infinito, cioè qualcuno che sembra non progredire in avanti nel tempo) se qualcosa si muove vicino a te vicino alla velocità della luce.

  1. Come ulteriore conseguenza, gli osservatori inerziali vedrebbero gli oggetti che si muovono oltre di essi a velocità relativistiche come contratti (lungo la direzione del moto) in relazione alla loro lunghezza se misurati da qualcuno a riposo rispetto all’oggetto. Questa si chiama contrazione della lunghezza. Ancora una volta, è un effetto piccolo, ma misurabile, a meno che le velocità relative non siano vicine alla velocità della luce. Puoi facilmente dimostrare che il fattore con cui il tempo viene dilatato è lo stesso del fattore con cui vengono contratte le lunghezze.

Quindi considera il seguente esperimento mentale e poi avremo il paradosso. Abbiamo una coppia di gemelli, esattamente della stessa età. Uno, il gemello A, rimane sulla Terra, senza mai muoversi a velocità relativistiche rispetto al quadro di riferimento che il resto di noi chiama casa. L’altro gemello, B, parte su un razzo relativistico, per un lungo viaggio di andata e ritorno che li porta via dalla Terra per molti anni, poi si fermano, si voltano e tornano a casa, sempre a velocità relativistiche. Per mettere alcuni numeri su di esso, diciamo che il razzo viaggia a una velocità abbastanza vicina alla velocità della luce che il fattore di dilatazione del tempo è 10: quindi per  A, gli orologi B battono a 1/10 della velocità di quelli su Terra. Possiamo immaginare che, secondo il  A, vedano il B allontanarsi dalla Terra per 10 anni, fermarsi, girarsi e tornare sulla Terra per altri 10 anni.

Ma cosa vede  B? Ricorda che la relatività funziona indipendentemente dal quadro di riferimento in cui vivi: tutti sono giustificati nel pensare di trovarsi in un quadro di riferimento fisso (purché non modifichi la velocità). Quindi  B vede la distanza su cui devono percorrere prima di fermarsi e voltarsi come la lunghezza contratta: vedono la distanza di cui hanno bisogno per coprire 1/10 della distanza misurata da un osservatore sulla Terra. Quindi, piuttosto che impiegare 10 anni per coprire la distanza, pensano che l’Universo li abbia superati abbastanza velocemente da arrivare al traguardo in solo 1 anno. Quindi si fermano, si voltano e ritornano sulla Terra, prendendo ancora 1 anno. Quindi hanno invecchiato 2 anni quando tornano a casa.

Ma ecco il paradosso:  B vede  A (e la Terra in generale) come in movimento rispetto a loro. Quindi vedono  A dilatarsi nel tempo e invecchiare più lentamente rispetto a B. Quindi  B pensa che sia trascorso solo 2/10 dell’anno per il A di ritorno (usando lo stesso fattore di dilatazione del tempo relativo di 10). Quindi, il paradosso è

 A pensa di essere più vecchio di  B, ma  B pensa di essere più vecchio di  A. Quindi un paradosso: quando B scende dal suo razzo, logicamente solo uno di loro può essere più vecchio. Chi è?

La soluzione non è troppo difficile da trovare e risolve bene il paradosso. La simmetria che provoca il paradosso è che entrambi gli osservatori sembrano inerziali: entrambi sono giustificati (sembra) dire che sono fermi e l’altro si sta muovendo. Ma quella simmetria non è proprio lì: abbiamo saltato un passo importante. Affinché  B torni a casa, deve accelerare: deve fermare il suo razzo, girarsi e riaccelerare per tornare sulla Terra. Durante questo, sentiranno una forza, sapranno che si stanno muovendo rispetto al quadro di riferimento con cui hanno iniziato. Il gemello A non avverte tale accelerazione (per questo ignora il movimento della Terra attorno al Sole). Quindi  A è giustificato nel dire che sono l’osservatore “stazionario” e  B è quello in movimento. Alla fine,  A, quello che non ha viaggiato, è il gemello più anziano. Ok … quindi questa è la soluzione e la matematica risolve.

Ma dove sono finiti gli anni mancanti? Va bene dire che la decelerazione e l’accelerazione rompono la simmetria, ma nulla di ciò che ho detto su  A che vede B invecchiare 2 anni e B che vede  A invecchiare 2/10 di anno durante il viaggio era sbagliato. Se ogni gemello avesse abbastanza telescopi potenti, potevano osservare il loro fratello distante, muovendosi a 1/10 di velocità, invecchiando più lentamente di loro. Ad un certo punto,  A deve invecchiare 19,8 anni secondo  B perché il paradosso si risolva da solo.

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